讲解摘自百度;
最长公共上升子序列(LCIS)的O(n^2)算法?
预备知识:动态规划的基本思想,LCS,LIS。? 问题:字符串a,字符串b,求a和b的LCIS(最长公共上升子序列)。? 首先我们可以看到,这个问题具有相当多的重叠子问题。于是我们想到用DP搞。DP的首要任务是什么?定义状态。? 1定义状态F[i][j]表示以a串的前i个字符b串的前j个字符且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度。? 为什么是这个而不是其他的状态定义?最重要的原因是我只会这个,还有一个原因是我知道这个定义能搞到平方的算法。 而我这只会这个的原因是,这个状态定义实在是太好用了。这一点我后面再说。? 我们来考察一下这个这个状态。思考这个状态能转移到哪些状态似乎有些棘手,如果把思路逆转一下,考察这个状态的最优值依赖于哪些状态,就容易许多了。 这个状态依赖于哪些状态呢?? 首先,在a[i]!=b[j]的时候有F[i][j]=F[i-1][j]。 为什么呢?因为F[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS,如果F[i][j]>0那么就说明a[1]..a[i]中必然有一个字符a[k]等于b[j](如果F[i][j]等于0呢? 那赋值与否都没有什么影响了)。因为a[k]!=a[i],那么a[i]对F[i][j]没有贡献,于是我们不考虑它照样能得出F[i][j]的最优值。 所以在a[i]!=b[j]的情况下必然有F[i][j]=F[i-1][j]。这一点参考LCS的处理方法。? 那如果a[i]==b[j]呢?首先,这个等于起码保证了长度为1的LCIS。然后我们还需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。 之前最长的LCIS在哪呢?首先我们要去找的F数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了,不能用了。并且也不能是i-2, 因为i-1必然比i-2更优。第二维呢?那就需要枚举b[1]..b[j-1]了,因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于b[j]。 这里还有一个问题,可不可能不配对呢?也就是在a[i]==b[j]的情况下,需不需要考虑F[i][j]=F[i-1][j]的决策呢?答案是不需要。 因为如果b[j]不和a[i]配对,那就是和之前的a[1]..a[j-1]配对(假设F[i-1][j]>0,等于0不考虑),这样必然没有和a[i]配对优越。 (为什么必然呢?因为b[j]和a[i]配对之后的转移是max(F[i-1][k])+1,而和之前的i`配对则是max(F[i`-1][k])+1。显然有F[i][j]>F[i`][j],i`>i)? 于是我们得出了状态转移方程:? a[i]!=b[j]:???F[i][j]=F[i-1][j]? a[i]==b[j]:???F[i][j]=max(F[i-1][k])+1?1<=k<=j-1&&b[j]>b[k]? 不难看到,这是一个时间复杂度为O(n^3)的DP,离平方还有一段距离。? 但是,这个算法最关键的是,如果按照一个合理的递推顺序,max(F[i-1][k])的值我们可以在之前访问F[i][k]的时候通过维护更新一个max变量得到。 怎么得到呢?首先递推的顺序必须是状态的第一维在外层循环,第二维在内层循环。也就是算好了F[1][len(b)]再去算F[2][1]。? 如果按照这个递推顺序我们可以在每次外层循环的开始加上令一个max变量为0,然后开始内层循环。当a[i]>b[j]的时候令max=F[i-1][j]。 如果循环到了a[i]==b[j]的时候,则令F[i][j]=max+1。? 最后答案是F[len(a)][1]..F[len(a)][len(b)]的最大值。?参考代码:?
#include<cstdio> #include<cstring> int f[1005][1005],a[1005],b[1005],i,j,t,n1,n2,max; int main() { scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%d%d",&n1,&n2); for(i=1;i<=n1;i++) scanf("%d",&a[i]); for(i=1;i<=n2;i++) scanf("%d",&b[i]); memset(f,0,sizeof(f)); for(i=1;i<=n1;i++) { max=0; for(j=1;j<=n2;j++) { f[i][j]=f[i-1][j]; if(a[i]>b[j]&&max<f[i-1][j]) max=f[i-1][j]; if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max+1; } } max=0; for(i=1;i<=n2;i++) if (max<f[n1][i]) max=f[n1][i]; printf("%d\n",max); } } 其实还有一个很风骚的一维的算法。 在此基础上压掉了一维空间(时间还是平方)。 i循环到x的时候,F[i]表示原来F[x][j]。 之所以可以这样,是因为如果a[i]!=b[j],因为F[x][j]=F[x-1][j]值不变, F[x]不用改变,沿用过去的就好了,和这个比较维护更新得到的max值依然是我们要的。 而a[i]==b[j]的时候,就改变F[x]的值好了。具体结合代码理解。?参考代码: #include<cstdio> #include<cstring> int f[1005],a[1005],b[1005],i,j,t,n1,n2,max; int main() { scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%d%d",&n1,&n2); for(i=1;i<=n1;i++) scanf("%d",&a[i]); for(i=1;i<=n2;i++) scanf("%d",&b[i]); memset(f,0,sizeof(f)); for(i=1;i<=n1;i++) { max=0; for(j=1;j<=n2;j++) { if(a[i]>b[j]&&max<f[j]) max=f[j]; if(a[i]==b[j]) f[j]=max+1; } } max=0; for(i=1;i<=n2;i++) if?(max<f[i]) max=f[i]; printf("%d\n",max); } return 0; } 代码: #include<stdio.h> #include<string.h> #define NUM 1000 int max[NUM][NUM],flag[NUM]; int main() { int i,j,n,m,t,r; int str1[NUM],str2[NUM],ans; scanf("%d",&t); while(t--) { memset(max,0,sizeof(max)); scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&str1[i]); scanf("%d",&m); for(j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&str2[j]); for(i=1;i<=n;i++) { r=0; for(j=1;j<=m;j++) { max[i][j]=max[i-1][j]; if(str1[i]>str2[j]&&r<max[i-1][j])r=max[i-1][j]; if(str1[i]==str2[j])max[i][j]=r+1; } } ans=0; for(i=1;i<=m;i++) if(max[n][i]>ans) ans=max[n][i]; printf("%d\n",ans); if(t) printf("\n"); } return 0; } 题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1423